Изменение моментов
инерции при повороте осей координат. Положение главных осей
инерции Поворот осей на угол a
u = Od + de = zcosa+ ysina, |
|
v = ac - ce = ycosa- zsina. |
|
Моменты инерции в новых осях
Ju = |
у х
|
F
|
v2 dF = |
у х
|
F
|
(ycosa- zsina)2 dF = |
|
= cos2a |
у х
|
F
|
y2 dF - 2sinacosa |
у х
|
F
|
zy dF + sin2a |
у х
|
F
|
z2 dF = |
|
= Jzcos2a- 2Jzysinacosa+ Jysin2a. |
|
Jv = Jzsin2a+ 2Jzysinacosa+ Jycos2a. |
|
Juv = (Jz - Jy)sinacosa+ Jzy(cos2a- sin2a). |
|
Преобразуем, используя формулы
cos2a= |
1
2
|
(1 + cos2a), sin2a
= |
1
2
|
(1 - cos2a), |
|
Ju = |
1
2
|
(Jz + Jy) + |
1
2
|
(Jz - Jy)cos2a- Jzysin2a, |
|
Jv = |
1
2
|
(Jz + Jy) - |
1
2
|
(Jz - Jy)cos2a+ Jzysin2a, |
|
Juv = |
1
2
|
(Jz - Jy)sin2a+ Jzycos2a. |
|
При
tg 2a0 = - 2Jzy/(Jz - Jy) |
|
Juv обращается в 0.
Для определения a* приравниваем нулю производные
-(Jz - Jy)sin2a* - Jzycos2a* = 0. |
|
tg 2a* = - 2Jzy/(Jz - Jy) |
|
sin2a* = tg2a*/ | Ц
|
1 + tg22a*
|
, cos2a* = 1/ | Ц
|
1 + tg22a*
|
|
|
cos2a* = |
1
2
|
(Jy - Jz)/ |
ж Ц
|
|
|
|
Минимальный и максимальный моменты инерции
|